Sine sætningen. Løsning af trekanter

Undersøgelsen af ​​trekanter rejser ufrivilligt spørgsmåletom beregningen af ​​forholdet mellem deres sider og vinkler. I geometri giver cosinus og sinus teorem det mest komplette svar til løsning af dette problem. I en overflod af forskellige matematiske udtryk og formler, love, sætninger og regler er der sådan, at de adskiller sig i ekstraordinær harmoni, sammenhæng og enkelhed ved at formidle den betydning, der er indeholdt i dem. Sansestudien er et levende eksempel på en sådan matematisk formulering. Hvis der i den verbale fortolkning også er en vis hindring i forståelsen af ​​denne matematiske regel, så når man ser på den matematiske formel, falder alt straks på plads.

De første oplysninger om denne sætning blev fundet i form af dens bevis inden for rammerne af det matematiske arbejde Nasir ad-Din Al-Tusi, dateret det trettende århundrede.

Nærmer sig hensynet til forholdetsider og vinkler i en hvilken som helst trekant, er det værd at bemærke, at sinusets sætning gør det muligt at løse mange matematiske problemer, mens denne geometriske lov finder anvendelse i forskellige former for praktisk menneskelig aktivitet.

Sansestudien selv siger det for enhverTrianglen er kendetegnet ved sidens proportionalitet i modsatte vinkler. Der er også den anden del af denne sætning, hvorefter forholdet mellem hver side af trekanten og sinusens modsatte vinkel er lig med diameteren af ​​den cirkel, der er beskrevet nær den pågældende trekant.

I form af en formel ser dette udtryk ud

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Har en sætning af sinusbevis, som i forskellige versioner af lærebøger tilbydes i en lang række versioner.

For eksempel overveje et af de beviser, der forklarer den første del af sætningen. Lad os derfor sætte målet om at bevise gyldigheden af ​​udtryk en sinc = c sina.

I en vilkårlig trekant ABC konstruerer vi højdenBH. I en af ​​varianterne af konstruktionen vil H ligge på segmentet AC og i den anden udenfor det, afhængigt af vinklerne ved trekanterne. I det første tilfælde kan højden udtrykkes i forhold til vinklerne og siderne af trekanten, som BH = en sinC og BH = c sinA, som er det nødvendige bevis.

I tilfælde af at punktet H ligger uden for grænserne for segmentet AC, kan vi få følgende løsninger:

BH = en sinC og BH = c sin (180-A) = c sinA;

eller BH = en synd (180-C) = en sinC og BH = c sinA.

Som vi ser, uanset byggemulighederne, kommer vi til det ønskede resultat.

Beviset for anden del af sætningen kræver detvi beskriver en cirkel omkring trekanten. Gennem en af ​​højderne af trekanten, for eksempel B, konstruerer vi diameteren af ​​cirklen. Få et punkt på cirklen D med en af ​​højden af ​​trekanten, lad det være punkt A i trekanten.

Hvis vi overvejer de resulterende trekanter ABD ogABC, så kan du se ligestilling af vinklerne C og D (de er baseret på en bue). Og i betragtning af at vinklen A er halvfems grader end synden D = c / 2R eller sin C = c / 2R, som skulle bevises.

Sansestudien er udgangspunktet forløse en lang række forskellige opgaver. En særlig attraktion er dens praktiske anvendelse, som en naturlig følge af Sætning vi er i stand til at relatere værdien af ​​trekanten sider, modstående vinkler og radius (diameter) af en cirkel omskrevet omkring trekanten. Enkelheden og tilgængeligheden af ​​formel, der beskriver denne matematiske udtryk, lov til almindeligt bruge denne sætning til at løse problemerne ved hjælp af forskellige mekaniske anordninger tællelige (regnestokke, borde og så videre.), Men selv ankomsten af ​​servicetekniker kraftfulde computerenheder er ikke sænket relevans af dette teorem.

Denne sætning indgår ikke kun i den sekundære skoles geometri, men anvendes også i visse brancher af praktisk aktivitet.